Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，D，E分别是AB，BB₁的中点，AA₁=AC=CB=4，AB=4

2

（Ⅰ）证明：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ） 过点E作一个平面α，使得α∥平面A₁CD，求α与直棱柱ABC-A₁B₁C₁的截面面积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接AC₁，交A₁C于点F，利用三角形的中位线证明BC₁∥DF，即可证明BC₁∥平面A₁CD；
（2）先把平面α做出来，再求其面积即可．

解答： （1）证明：连接AC₁，交A₁C于点F，
则F为AC₁中点，
又D是AB中点，连接DF，则BC₁∥DF．
因为DF?平面A₁CD，BC₁?平面AC₁D，
所以BC₁∥平面A₁CD．…（6分）
（2）分别去BD、BC的中点为M、N，
连接MN，EM，EN，
则MN∥DC，EN∥A₁D，
∴平面MNE∥平面A₁CD，及α为平面MNE，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，D，E分别是AB，BB₁的中点，AA₁=AC=CB=4，AB=4

2

，
可得：MN=EN=

2

，ME=

6

，
可求得：S_△MNE=

3

2

．
故α与直棱柱ABC-A₁B₁C₁的截面面积为

3

2

．

点评：本题主要考查线面平行的判定和性质以及截面的性质和面积的求法．