Question

10．若m-$\frac{1}{2}$＜x≤m+$\frac{1}{2}$（其中m为整数），则m称为距离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出关于函数f（x）=x-{x}的四个命题：
①函数f（x）的定义域为R，值域为$（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$；   ②函数f（x）的图象关于原点对称；
③函数f（x）的图象关于y轴对称；            ④函数f（x）在$（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$上是增函数．
则其中正确命题的序号是①④．（填上所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 显然函数f（x）的定义域为R，再由定义确定值域；
特例，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$-{$\frac{1}{2}$}=$\frac{1}{2}$，f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$-{-$\frac{1}{2}$}=$\frac{1}{2}$；
特例，f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{4}$-{$\frac{1}{4}$}=$\frac{1}{4}$，f（-$\frac{1}{4}$）=-$\frac{1}{4}$-{-$\frac{1}{4}$}=-$\frac{1}{4}$；
当x∈$（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$时，化简f（x）=x-{x}=x．

解答 解：函数f（x）的定义域为R，
∵m-$\frac{1}{2}$＜x≤m+$\frac{1}{2}$，{x}=m，
∴$-\frac{1}{2}$＜x-{x}≤$\frac{1}{2}$，
故值域为$（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$；
故①正确；
f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$-{$\frac{1}{2}$}=$\frac{1}{2}$，f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$-{-$\frac{1}{2}$}=$\frac{1}{2}$，
故②不正确；
f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{4}$-{$\frac{1}{4}$}=$\frac{1}{4}$，f（-$\frac{1}{4}$）=-$\frac{1}{4}$-{-$\frac{1}{4}$}=-$\frac{1}{4}$，
故③不正确；
当x∈$（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$时，f（x）=x-{x}=x，故是增函数，
故④正确；
故答案为：①④．

点评 本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了学生的学习应用能力．