Question

设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

Answer 1

解析 (1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，

当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，于是

解得故f(x)＝x－.

(2)证明　设P(x₀，y₀)为曲线上任一点，

由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x₀，y₀)处的切线方程为y－y₀＝(x－x₀)，

即y－＝(x－x₀)．

令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0交点坐标为.

令y＝x，得y＝x＝2x₀，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x_0,2x₀)．

所以点P(x₀，y₀)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为

|2x₀|＝6.

故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.