Question

已知函数f(x)＝x³＋ax²＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：

3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．

(1)求a，b，c的值；

(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．

Answer 1

解析：(1)由f(x)＝x³＋ax²＋bx＋c，

得f′(x)＝3x²＋2ax＋b，

当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.①

当x＝时，y＝f(x)有极值，

则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0.②

由①②解得a＝2，b＝－4.

由于切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4，

∴1＋a＋b＋c＝4，∴c＝5.

∴a＝2，b＝－4，c＝5.

(2)由(1)可得f(x)＝x³＋2x²－4x＋5，

∴f′(x)＝3x²＋4x－4，

令f′(x)＝0，得x₁＝－2，x₂＝.

当x变化时，y、y′的取值及变化如下表：

x	－3	(－3，－2)	－2				1
y′		＋	0	－	0	＋
y	8	单调递增↗	13	单调递减↘		单调递增↗	4