Question

12．在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则该三棱锥的外接球的表面积为8π．

Answer 1

分析 由余弦定理求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥P-ABC的外接球的表面积．

解答 解：∵AB=2，AC=1，∠BAC=60°，
∴由余弦定理可得BC=$\sqrt{3}$，∴AC⊥BC，AB是△ABC外接圆的直径，
∴△ABC外接圆的半径为r=1，
设球心到平面ABC的距离为d，则由勾股定理可得R²=d²+1²=1²+（2-d）²，
∴d=1，R²=2，
∴三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4πR²=8π．
故答案为：8π．

点评 本题考查三棱锥P-ABC的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定三棱锥P-ABC的外接球的半径是关键．