Question

设函数f（x）=log_a（x-3a）（a＞0且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，点
Q（x-2a，-y）是函数y=g（x）图象上的点．
（1）写出函数y=g（x）的解析式；
（2）若当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f（x）-g（x）|≤1，试确定a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，y=f（x）=log_a（x-3a），-y=g（x-2a）；则g（x-2a）=-log_a（x-3a），利用换元法求函数解析式；
（2）先由f（x）与g（x）的定义域的交集为（3a，+∞）可知0＜a＜1，进而化简|f（x）-g（x）|≤1为a≤x²-4ax+3a²≤

1

a

，从而求a．

解答： 解：（1）由题意，
y=f（x）=log_a（x-3a），
-y=g（x-2a），
则g（x-2a）=-log_a（x-3a），
令t=x-2a，
则g（t）=-log_a（t-a），
则g（x）=-log_a（x-a）．
（2）∵f（x）与g（x）的定义域的交集为（3a，+∞），
∴[a+2，a+3]⊆（3a，+∞）
∴a+2＞3a＞0，
∴0＜a＜1，
∴|f（x）-g（x）|≤1可化为a≤x²-4ax+3a²≤

1

a

，
又∵x∈[a+2，a+3]时，x²-4ax+3a²=（x-2a）²-a²∈[4-4a，9-6a]
∴

0＜a＜1 a≤4-4a 1 a ≥9-6a

，
∴0＜a≤

4

5

．

点评：本题考查了图象的变换及换元法求函数的解析式及函数的定义域的应用，属于基础题．