Question

19．设函数f（x）=|x-1|-2|x+a|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若不等式f（x）＞0，在x∈[2，3]上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，由不等式$?\left\{{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{-x+1+2（{x+1}）＞1}\end{array}或\left\{{\begin{array}{l}{-1＜x≤1}\\{-x+1-2（{x+1}）＞1}\end{array}或\left\{{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x-1-2（{x+1}）＞1}\end{array}}\right.}\right.}\right.$．分别求得解集，再取并集，即得所求．
（2）由题意可得，1-3x＜2a＜-x-1在x∈[2，3]上恒成立，从而求得a的取值范围．

解答 解：（1）∵a=1，f（x）＞1?|x-1|-2|x+1|＞1，$?\left\{{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{-x+1+2（{x+1}）＞1}\end{array}或\left\{{\begin{array}{l}{-1＜x≤1}\\{-x+1-2（{x+1}）＞1}\end{array}或\left\{{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x-1-2（{x+1}）＞1}\end{array}}\right.}\right.}\right.$$?-2＜x≤-1或-1＜x＜-\frac{2}{3}?-2＜x＜-\frac{2}{3}$，
∴解集为$（{-2，-\frac{2}{3}}）$…（5分）
（2）f（x）＞0在x∈[2，3]上恒成立?|x-1|-2|x+a|＞0在x∈[2，3]上恒成立
$\begin{array}{l}?|{2x+2a}|＜x-1\\?1-x＜2x+2a＜x-1\end{array}$
?1-3x＜2a＜-x-1在x∈[2，3]上恒成立，
$\begin{array}{l}?{（{1-3x}）_{max}}＜2a＜{（{-x-1}）_{min}}\\?-5＜2a＜-4\\?-\frac{5}{2}＜a＜-2\end{array}$
∴a的范围为$（{-\frac{5}{2}，-2}）$…（10分）

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．