Question

已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是

x= 3 2 t+m y= 1 2 t

（t为参数）．
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；
（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ²=2ρcosθ，利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

可得直角坐标方程．直线L的参数方程是

x= 3 2 t+m y= 1 2 t

（t为参数），把t=2y代入x=

3

2

t+m消去参数t即可得出．
（2）把

x= 3 2 t+m y= 1 2 t

（t为参数），代入方程：x²+y²=2x化为：t2+(

3

m-

3

)t+m²-2m=0，由△＞0，得-1＜m＜3．利用|PA|•|PB|=t₁t₂，即可得出．

解答： 解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ²=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x²+y²=2x．
直线L的参数方程是

x= 3 2 t+m y= 1 2 t

（t为参数），消去参数t可得x=

3

y+m．
（2）把

x= 3 2 t+m y= 1 2 t

（t为参数），代入方程：x²+y²=2x化为：t2+(

3

m-

3

)t+m²-2m=0，
由△＞0，解得-1＜m＜3．
∴t₁t₂=m²-2m．
∵|PA|•|PB|=1=t₁t₂，
∴m²-2m=1，
解得m=1±

2

．又满足△＞0．
∴实数m=1±

2

．

点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．