Question

19．数列{a_n}满足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），n∈N^*．
（1）证明：数列$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$是等差数列；
（2）若T_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）ⁿ⁺¹•a_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可知得$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}=\frac{a_n}{n}+1$，即$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}-\frac{a_n}{n}=1$，$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$是以$\frac{a_1}{1}=1$为首项，1为公差的等差数列；
（2）由（1）求得${a_n}={n^2}$，由${T_n}={1^2}-{2^2}+{3^2}-{4^2}+…+{（{-1}）^n}{（{n-1}）^2}+{（{-1}）^{n+1}}•{n^2}$，当n为偶数时及n为奇数时，即可求得T_n．

解答 解：（1）证明：由已知可得$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}=\frac{a_n}{n}+1$，即$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}-\frac{a_n}{n}=1$，
∴$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$是以$\frac{a_1}{1}=1$为首项，1为公差的等差数列．
（2）解：由（1）得$\frac{a_n}{n}=1+（{n-1}）•1=n$，
∴${a_n}={n^2}$，
∵${T_n}={a_1}-{a_2}+{a_3}-{a_4}+…+{（{-1}）^{n+1}}•{a_n}$，
∴${T_n}={1^2}-{2^2}+{3^2}-{4^2}+…+{（{-1}）^n}{（{n-1}）^2}+{（{-1}）^{n+1}}•{n^2}$
当n为偶数时，${T_n}=-（{3+7+…+2n-1}）=-\frac{{n（{n+1}）}}{2}$；
当n为奇数时，${T_n}=-（{3+7+…+2n-3}）+{n^2}=\frac{{n（{n+1}）}}{2}$，
综上，${T_n}={（{-1}）^{n+1}}\frac{{n（{n+1}）}}{2}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式及数列的前n项和公式，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题．