Question

如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

证明：（1）见解析；（2）二面角的平面角的余弦值为.

试题分析：证明：（1）注意做辅助线，连结和交于，连结，
根据为中点，为中点，得到
， 即证得平面；
（2）应用已知条件，研究得到，
平面，，创造建立空间直角坐标系的条件，通过
以为原点，以为轴建立如图所示的坐标系，
应用“向量法”解题；
解答本题的关键是确定“垂直关系”，这也是难点所在，平时学习中，应特别注意转化意识的培养，能从“非规范几何体”，探索得到建立空间直角坐标系的条件.
试题解析：证明：（1）连结和交于，连结，                                 1分
为正方形，为中点，为中点，
，                                                              3分
平面，平面
平面．                                                        4分
（2）平面，平面，，
为正方形，，
平面，
平面，
平面，                                           6分
以为原点，以为轴建立如图所示的坐标系，

则，，，
平面，平面，
，
为正方形，，
由为正方形可得：，
设平面的法向量为
，
由，令，则
                                                           8分
设平面的法向量为，
，
由 ，令，则，
                                                     10分
设二面角的平面角的大小为，则

二面角的平面角的余弦值为                             12分