Question

（A题）有下列命题：
①若f（x）存在导函数，则f′（2x）=[f（2x）]′；
②若g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2013），则g′（2013）=2012!；
③若函数y=f（x）满足f′（x）＞f（x），则当a＞0时，f（a）＞e^af（0）；
④若f（x）=ax³+bx²+cx+d，则a+b+c=0是f（x）有极值点的充要条件．
其中正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：①根据复合函数求导法则即可判断，
②令f（x）=（x-1）（x-2）…（x-2012），则g（x）=f（x）（x-2013），求导即可判断，
③构造函数f（x）=e^2x，得到e^2a＞e^2a，问题得以判断
④根据函数零点的主要条，即可判断．

解答： 解：①f（2x）为复合函数，故其导数为f′（2x）×（2x）′=2f′（2x），故①错误．
②令f（x）=（x-1）（x-2）…（x-2012）
∴g（x）=f（x）（x-2013），
∴g′（x）=f′（x）（x-2013）+f（x）（x-2013）′，
∴g′（2013）=f′（2013）（2013-2013）+（2013-1）（2013-2）…（2013-2012）=2012!；故②正确
③设函数f（x）=e^2x，则其导函数f′（x）=2e^2x，显然满足f′（x）＞f（x），由f（a）=e^2a，e^af（0）=e^a；
当a＞0，e^2a＞e^2a，∴f（a）＞e^af（0）；故③正确．
④∵f（x）=ax³+bx²+cx+d，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵f（x）有极值点?f′（x）=0有两个不相等的实数根?△=4b²-12ac＞0，故④错误．
故答案为：②③

点评：本题主要复合函数求导法则，以及函数零点的充要条件，关键是掌握导数基本概念，属于中档题．