Question

20．在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D为侧棱PB的中点，它的正视图和侧视图如图所示，给出下列结论
①AD⊥平面PBC；
②BD⊥平面PAC；
③三棱锥D-ABC的体积为$\frac{16}{3}$；
④三棱锥P-ABC外接球的体积为32$\sqrt{3}$π，其中正确的结论有①④．

Answer 1

分析 ①由PA⊥平面ABC，可得PA⊥AD．由正视图可知：PA=$\sqrt{P{B}^{2}-A{B}^{2}}$=AB=4，又D为侧棱PB的中点，可得AD⊥PB．由PA⊥平面ABC，BA⊥BC，可得BC⊥AD，即可得出AD⊥平面PBC；
②由PB与PC不垂直，可得此BD与平面PAC不垂直；
③由侧视图可知：BC=4，可得S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•BC$，可得三棱锥D-ABC的体积=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}$×PA，即可判断出正误；
④PC=$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，取PC的中点O，连接OP=OA=OA=OB=2$\sqrt{3}$，即可得出三棱锥P-ABC外接球的体积，进而判断出．

解答 解：①∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AD．由正视图可知：AB=4，PA=$\sqrt{P{B}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-{4}^{2}}$=4=AB，又D为侧棱PB的中点，∴AD⊥PB．由PA⊥平面ABC，BA⊥BC，∴BC⊥AD，又PB∩BC=B．∴AD⊥平面PBC．因此正确；
②∵PB与PC不垂直，因此BD与平面PAC不垂直；
③由侧视图可知：BC=4，∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•BC$=$\frac{1}{2}×4×4$=8，∴三棱锥D-ABC的体积=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}$×PA=$\frac{1}{3}×8×4$=$\frac{32}{3}$，因此不正确；
④PC=$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{P{A}^{2}+A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，取PC的中点O，连接OP=OA=OA=OB=2$\sqrt{3}$，∴三棱锥P-ABC外接球的体积=$\frac{4π}{3}（2\sqrt{3}）^{3}$=32$\sqrt{3}$π，因此正确．
综上可得：只有①④正确．
故答案为：①④．

点评 本题考查了空间位置关系及其判定、勾股定理、三棱锥的体积、外接球的体积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．