题目内容

a
，
b
为非零不共线向量，定义
a
×
b
为一个向量，其大小为|
a
||
b
|sin＜
a
，
b
＞，方向与
a
，
b
都垂直，且
a
，
b
，
a
×
b
的方向依次构成右手系（即右手拇指，食指分别代表
a
，
b
的方向，中指与拇指、食指的平面垂直且指向掌心代表
a
×
b
的方向），则下列说法中正确结论的序号有
 
．
①（
a
×
b
）•
a
=0
②（
a
×
b
）×
c
=
a
×（
b
×
c
）
③正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，则(
AB
×
AD
)•
AA1
=1
④三棱锥A-BCD中，|（
AB
×
AC
）•
AD
|的值恰好是他的体积的6倍．
考点：平面向量数量积的运算
专题：新定义,转化思想,平面向量及应用
分析：①由已知，（
a
×
b
）⊥
a
=0，所以（
a
×
b
）•
a
=0，故正确，
②取特例验证，设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，设
a
=
AB
，
b
=
AD
，
c
=
AC
．通过计算判断，
③
AB
×
AD
=
A1A
，
A1A
与
AA1
夹角为180°，得出|(
AB
×
AD
)•
AA1
|=0，故错误
④三棱锥A-BCD的体积等于V=
1
3
S△ABC×h，利用向量投影求出h，分别计算两边，进行判断．
解答： 解：①由已知，（
a
×
b
）⊥
a
=0，所以（
a
×
b
）•
a
=0，故正确，
②如图，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，设
a
=
AB
，
b
=
AD
，
c
=
AC
．
则
a
×
b
=
A1A
，|（
a
×
b
）×
c
|=1×
2
×sin90°=
2
，
|
b
×
c
|=1×
2
×sin45°=1，|
a
×（
b
×
c
）|=1×1×sin90°=1，
∵|（
a
×
b
）×
c
|≠|
a
×（
b
×
c
）|，∴②错误
③如图，
AB
×
AD
=
A1A
，
A1A
与
AA1
夹角为180°，|(
AB
×
AD
)•
AA1
|=0，则(
AB
×
AD
)•
AA1
=
0
，故错误
④三棱锥A-BCD中，设
m
=
AB
×
AC
，则
m
是平面ABC的一个法向量，且|
m
|=AB×AC×sinA．
设＜
m
，
AD
＞=θ，则|（
AB
×
AC
）•
AD
|=（AB×AC×sinA）×AD×|cosθ|，
三棱锥A-BCD底面ABC上的高h=AD|cosθ|，
体积V=
1
3
S△ABC×h=
1
6
×（AB×AC×sinA）×（AD|cosθ|），
所以|（
AB
×
AC
）•
AD
|的值恰好是他的体积的6倍．故正确．
故答案为：①④．
点评：本题是新定义题目，需要抓住新定义中的本质找到解题的关键点，即 的方向和具体位置，根据图形和条件作出并加以证明，还需要利用几何知识和向量数量积的运算进行求解，考查分析问题和解决问题的能力．
练习册系列答案
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2
3
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1
2
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OC
=
1
2
OA
，
OD
=
1
2
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OP
•
AB
=
 
．
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4
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