Question

【题目】已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋（c＞0，n∈N*），

（Ⅰ）证明：an＋1＞an≥1；

（Ⅱ）若对任意n∈N*，都有,证明：（ⅰ）对于任意m∈N*，当n≥m时，

（ⅱ）

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意，可采用数学归纳法，以及放缩法对不等式进行证明，从而问题可得解；（Ⅱ）在第（i）中，根据（Ⅰ）的结论，采用放缩法对数列的通项进行放大，再用累加法进行求解即可；在第（ii）中，对参数进行分段讨论，结合（i）中的结论，从而问题可得解.

试题解析：（Ⅰ）因为c＞0，所以 an＋1＝an＋＞an（n∈N*），

下面用数学归纳法证明an≥1．

①当n＝1时，a1＝1≥1；

②假设当n＝k时，ak≥1，

则当n＝k＋1时，ak＋1＝ak＋＞ak≥1．

所以，当n∈N*时，an≥1．

所以 an＋1＞an≥1．

（Ⅱ）（ⅰ）当n≥m时，an≥am，

所以 an＋1＝an＋≤an＋，

所以 an＋1－an≤，累加得 an－am≤(n－m)，

所以 ．

（ⅱ）若，当时，

，所以．

所以当时，．

所以当时，，矛盾．

所以 ．

因为 ，

所以．