题目内容
【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别为
且椭圆上存在一点
，满足
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)已知
分别是椭圆的左、右顶点，过
的直线交椭圆于
两点，记直线
的交点为
，是否存在一条定直线
，使点恒在直线上?
【答案】（1）
（2）存在，点
在定直线
上
【解析】
（1）对三角形
应用余弦定理即可求得
，结合椭圆定义求得
，问题得解。
（2）设
，
，
，利用
及
列方程，整理得：
，由
整理得：
，从而表示出
，联立直线与椭圆方程，由韦达定理得：
，代入上式得：
，解得：，问题得解.
（1）设
，则
内，
由余弦定理得
，
化简得
，解得
，
故
，
∴
，得
，
所以椭圆
的标准方程为.
（2）已知
，
，设，，，
由
，①
，②
两式相除得.
又
，
故，
故
，③
设
的方程为
，代入整理，
得
，
恒成立.
把代入③，
得
，
得到，故点在定直线上.
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