Question

已知点P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n），…，（n∈N^*），都在函数y=log

1

2

x的图象上．
（1）若数列{b_n}是等差数列，求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若数列{a_n}的前n项和是Sn=1-(

1

2

)n，设过点P_n、P_n+1的直线与坐标轴所围成的三角形面积为c_n，求c_n的最大值；
（3）若存在一个常数q，使得对任意的正整数n都有d_n＜q，且

lim

n→∞

dn=q，则称{d_n}为“左逼近”数列，q为该数列的“左逼近”值．若数列{a_n}的前n项和是Sn=1-(

1

2

)n，设数列{b_n}的前n项和是B_n，且T_n=

Bn+1

Bn

+

Bn

Bn+1

，A_n=T₁+T₂+…+T_n-2n，试判断数列{A_n}是否为“左逼近”数列，如果是，求出“左逼近”值；如果不是，说明理由．

Answer 1

考点：数列的极限

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据数列{b_n}是等差数列，结合函数y=log

1

2

x，利用等比数列的定义，即可证明数列{a_n}是等比数列；
（2）求出数列{b_n}的通项，表示出三角形面积c_n，确定其单调性，即可求c_n的最大值；
（3）求出数列{b_n}的前n项和B_n，可得T_n=

Bn+1

Bn

+

Bn

Bn+1

，从而可得A_n=T₁+T₂+…+T_n-2n，利用“左逼近”数列的定义，即可得出结论．

解答： 解：（1）证明：设b_n+1-b_n=d（常数），b1=log

1

2

a1⇒a1=(

1

2

)b1≠0
∵点P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n），…，（n∈N^*），都在函数y=log

1

2

x的图象上，
∴log

1

2

an+1-log

1

2

an=d(常数)⇒log

1

2

an+1

an

=d⇒

an+1

an

=(

1

2

)d＞0(常数)，
∴数列{a_n}是等比数列；
（2）解：∵Sn=1-(

1

2

)n，∴an=(

1

2

)n，
∴bn=log

1

2

an=n，
∴Pn((

1

2

)n，n)，Pn+1((

1

2

)n+1，n+1)，kPnPn+1=

1

( 1 2 )n+1-( 1 2 )n

=-2n+1，
∴y-n=-2n+1[x-(

1

2

)n]，
∴x=0时，y=n+2；y=0时，x=

n+2

2n+1

，
∴cn=

(n+2)2

2n+2

，
∴c_n+1-c_n=

1

2n+3

(1-2n-n2)＜0，
∴c_n+1＜c_n，
∴(cn)max=c1=

9

8

；
（3）解：由（2）知，b_n=n，∴B_n=

n(n+1)

2

，
∴Tn=

n+2

n

+

n

n+2

=2+2（

1

n

-

1

n+2

）
∴A_n=2（

1

1

-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

）=2（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=3-2（

1

n+1

+

1

n+2

）＜3
且

lim

n→∞

A_n=3，
∴数列{A_n}是“左逼近”数列，“左逼近”值是3．

点评：本题考查等比数列的定义，考查新定义，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．