Question

如果直线2ax-by+14=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=m^x+1+1（m＞0，m≠1）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆（x-a+1）²+（y+b-2）²=25的内部或圆上，那么

b

a

的取值范围

 

．

Answer 1

考点：圆的标准方程,指数函数的单调性与特殊点

专题：直线与圆

分析：求出函数恒过的定点，代入直线方程，及圆的方程，再换元，转化为t的不等式，即可求出

b

a

的取值范围．

解答： 解：函数f（x）=m^x+1+1的图象恒过点（-1，2），
代入直线2ax-by+14=0可得-2a-2b+14=0，
即a+b=7．
∵定点始终落在圆（x-a+1）²+（y+b-2）²=25的内部或圆上，
∴a²+b²≤25
设

b

a

=t，
则b=at，代入a+b=7，
∴a=

7

1+t

代入a²+b²≤25可得(1+t2)×(

7

1+t

)2≤25，
∴12t²-25t+12≤0，
∴

3

4

≤t≤

4

3

．
故答案为：[

3

4

，

4

3

]．

点评：本题考查恒过定点问题，考查学生分析解决问题的能力，考查解不等式，属于中档题．