题目内容
11．对于?x∈[${\frac{1}{2}$，+∞）都有2x+a≥$\sqrt{2x-1}$恒成立，则a的取值范围为（ ）| A． | $（{-∞，-\frac{1}{4}}]$ | B． | $[{-\frac{1}{4}，+∞}）$ | C． | $（{-∞，-\frac{3}{4}}]$ | D． | $[{-\frac{3}{4}，+∞}）$ |
分析 问题转化为则a≥$\sqrt{2x-1}$-2x在[${\frac{1}{2}$，+∞）恒成立，令f（x）=$\sqrt{2x-1}$-2x，x∈[$\frac{1}{2}$，+∞），根据函数的单调性求出a的范围即可．
解答 解：对于?x∈[${\frac{1}{2}$，+∞）都有2x+a≥$\sqrt{2x-1}$恒成立，
则a≥$\sqrt{2x-1}$-2x在[${\frac{1}{2}$，+∞）恒成立，
令f（x）=$\sqrt{2x-1}$-2x，x∈[$\frac{1}{2}$，+∞），
f′（x）=$\frac{1-2\sqrt{2x-1}}{\sqrt{2x-1}}$，
令f′（x）＞0，解得：$\frac{1}{2}$≤x＜$\frac{5}{8}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{5}{8}$，
故f（x）在[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{8}$）递增，在（$\frac{5}{8}$，+∞）递减，
故f（x）max=f（$\frac{5}{8}$）=-$\frac{3}{4}$，
故a≥-$\frac{3}{4}$，
故选：D．
点评 本题考查了函数恒成立问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．
练习册系列答案
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11．若函数f（x）=lnx与函数g（x）=x2+2x+a（x＜0）有公切线，则实数a的取值范围为（ ）
| A． | （ln$\frac{1}{2e}$，+∞） | B． | （-1，+∞） | C． | （1，+∞） | D． | （-ln2，+∞） |
16．已知函数f（x）=asinx-bcosx（其中a，b为正实数）的图象关于直线$x=-\frac{π}{6}$对称，且?x1，x2∈R，x1≠x2，f（x1）f（x2）≤4恒成立，则下列结论正确的是（ ）
| A． | $a=\sqrt{3}$，b=1 | |
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| C． | 函数f（x）的图象的一个对称中心为$（{\frac{2}{3}π，0}）$ | |
| D． | 不等式f（x1）f（x2）≤4取到等号时|x2-x1|的最小值为2π |
20．已知A，B，C是单位圆上互不相同的三点，且满足|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，则$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$的最小值为（ ）
| A． | -$\frac{1}{4}$ | B． | -$\frac{1}{2}$ | C． | -$\frac{3}{4}$ | D． | -1 |