Question

20．已知A，B，C是单位圆上互不相同的三点，且满足|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，则$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$的最小值为（　　）

• A． -$\frac{1}{4}$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． -$\frac{3}{4}$
• D． -1

Answer 1

分析 由题意可得，点A在BC的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点A（0，1），点B（x₁，y₁），则点C（-x₁，y₁），x₁²+y₁²=1，且-1≤y₁＜1．根据 $\overrightarrow{AB}$=2y₁²-2y₁，再利用二次函数的性质求得它的最小值．再利用二次函数的性质求得它的最小值．

解答 解：由题意可得，点A在BC的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），
点A（0，1），点B（x₁，y₁），则点C（-x₁，y₁），
-1≤y₁＜1．
∴$\overrightarrow{AB}$=（x₁，y₁-1），$\overrightarrow{AC}$=（-x₁，y₁-1），x₁²+y₁²=1．
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-x₁²+y₁²-2y₁+1=-（1-y₁²）+y₁²-2y₁+1
=2y₁²-2y₁，
∴当y₁=$\frac{1}{2}$时，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$取得最小值为-$\frac{1}{2}$，
故选：B．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，二次函数的性质，属于中档题．