Question

20．已知函数f（x）=a+$\frac{1}{4^x+1}$是奇函数．
（1）求实数a的值；   
（2）确定函数f（x）的单调性；    
（3）当x∈[-1，2）时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用已知函数为奇函数，并且定义域为R，所以f（0）=0，得到关于a的方程解之．
（2）直接利用函数单调性的定义证明；
（3）根据（2）的结论进行解答．

解答 解：（1）因为已知函数的定义域为R，并且是奇函数，
所以f（0）=0，即a+$\frac{1}{{4}^{0}+1}$=0，即$\frac{1}{2}$+a=0，
解得a=-$\frac{1}{2}$；
（2）设x₁，x₂为（-∞，+∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（a+$\frac{1}{{4}^{{x}_{1}}+1}$）-（a+$\frac{1}{{4}^{{x}_{2}}+1}$）=$\frac{{4}^{{x}_{2}}-{4}^{{x}_{1}}}{（{4}^{{x}_{1}}+1）（{4}^{{x}_{2}}+1）}$．
∵x₁＜x₂，
∴4${\;}^{{x}_{2}}$-4${\;}^{{x}_{1}}$＞0，
又（4${\;}^{{x}_{1}}$+1）（4${\;}^{{x}_{2}}$+1）＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{4}^{{x}_{2}}-{4}^{{x}_{1}}}{（{4}^{{x}_{1}}+1）（{4}^{{x}_{2}}+1）}$＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂），即函数f（x）为（-∞，+∞）上的减函数；
（3）由（2）知，函数f（x）为（-∞，+∞）上的减函数；
则当x=-1时，f（x）_max=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{\frac{1}{4}+1}$=$\frac{3}{10}$，
当x=2时，f（x）_min=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{8+1}$=-$\frac{15}{34}$，
故函数f（x）的值域是（-$\frac{15}{34}$，$\frac{3}{10}$]．

点评 本题考查了函数奇偶性的判断，函数单调性的判定与证明．判断函数的奇偶性时，根据函数的奇偶性的定义是解决本题的关键．注意要先判断函数的定义域是否关于原点对称．