Question

11．已知f（x）=x²+mx+1，使不等式f（x）≥3对任意的m∈[-1，1]恒成立的实数x的取值范围为（-∞，-2]∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，从而求解实数x的取值范围．

解答 解：函数f（x）=x²+mx+1，
∵不等式f（x）≥3，即x²+mx-2≥0对任意的m∈[-1，1]恒成立．
令f（m）=mx+x²-2，当m∈[-1，1]时，f（m）≥0恒成立．
需满足：$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≥0}\\{f（1）≥0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-2≥0}\\{{x}^{2}+x-2≥0}\end{array}\right.$，
解得：x≥2或x≤-2
所以实数x的取值范围为（-∞，-2]∪[2，+∞）．
故答案为：（-∞，-2]∪[2，+∞）．

点评 本题主要考查了函数恒成立问题的求解，把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数的转化思想的应用，属于中档题．