题目内容

已知函数f（x）=sin2x+2
3
cos2x-2a（x∈[0，
π
2
]）有唯一的一个零点，则实数a的取值范围是
 
．
考点：三角函数中的恒等变换应用
专题：三角函数的图像与性质
分析：利用三角恒等变换可得f（x）=2sin（2x+
π
3
）-2a，由f（x）=0可得2sin（2x+
π
3
）=2a-
3
，x∈[0，
π
2
]⇒
π
3
≤2x+
π
3
≤
4π
3
，利用正弦函数的图象与性质即可求得-
3
≤2sin（2x+
π
3
）≤2，进一步即可求得实数a的取值范围．
解答： 解：由f（x）=sin2x+2
3
cos2x-2a=sin2x+
3
cos2x+
3
-2a=0，得2sin（2x+
π
3
）=2a-
3
，
∵x∈[0，
π
2
]，
∴
π
3
≤2x+
π
3
≤
4π
3
，
∴-
3
≤2sin（2x+
π
3
）≤2．
依题意知，

-
3
≤2a-
3
＜
3
，或2a-
3
=2，
解得：0≤a＜
3
或a=
2+
3
2
，
∴实数a的取值范围是{a|0≤a＜
3
或
2+
3
2
}，
故答案为：{a|0≤a＜
3
或
2+
3
2
}．
点评：本题考查三角恒等变换，着重考查正弦函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知正数a，b满足a+b+2ab=10，则a+b的取值范围是
 
．
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2
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．
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3
，则
a+b+c
sinA+sinB+sinC
=
 
．
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．
已知cos（α+40°）=
3
5
，α为锐角，则sin（2α+20°）=
 
．
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．
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A、当CD=2AB时，M，N两点不可能重合
B、当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行
C、当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交
D、M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交
已知向量
a
=2
e1
-
e2
，
b
=
e1
+2
e2
，
c
=
1
2
e1
-
3
2
e2
，
e1
与
e2
不共线，则不能构成基底的一组向量是（　　）
A、
a
与
b
B、
a
与
c
C、
a
-
b
与
c
D、
a
+
b
与
c

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