Question

已知0＜x，y＜1，求

xy(1-x-y)

(x+y)(1-x)(1-y)

的最大值．

Answer 1

考点：不等式的基本性质

专题：不等式

分析：设x+y+z=1，将原分式化为

xyz

(x+y)(y+z)(x+z)

，当z＞0时，可以利用基本不等式求解；当z＜0时，讨论原分式的符号即可．

解答： 解：由0＜x，y＜1，知0＜x+y＜2．
①当0＜x+y＜1时，1-x-y＞0．
设x+y+z=1，则z＞0，
从而

xy(1-x-y)

(x+y)(1-x)(1-y)

=

xyz

(x+y)(y+z)(x+z)

≤

xyz

2 xy •2 yz •2 xz

=

1

8

，
当且仅当x=y=z=

1

3

时，上式取等号．
②当1≤x+y＜2时，

xy(1-x-y)

(x+y)(1-x)(1-y)

≤0．
综合①②知，

xy(1-x-y)

(x+y)(1-x)(1-y)

的最大值为

1

8

．

点评：本题考查了不等式的基本性质及分类讨论思想，尤其是如何构造基本不等式的利用条件是求解本题的关键．