Question

已知数列满足：

是数列的前项和 

（1）对于任意实数，证明数列不是等比数列；

（2）对于给定的实数，求数列的通项，并求出S_n；

（3）设是否存在实数，使得对任意正整数，都有若存在，求的取值范围，若不存在，说明理由。

Answer 1

（1）证明：假设存在一个实数，使｛a_n｝是等比数列，则有,   

即（）²=²

矛盾.所以｛a_n｝不是等比数列. 

（2）因为b_n+1=(-1)ⁿ⁺¹［a_n+1-3(n-1)+21］=(-1)ⁿ⁺¹(a_n-2n+14)

=-(-1)ⁿ·（a_n-3n+21）=-b_n  

当λ≠－18时，b₁=-(λ+18) ≠0,由上可知b_n≠0，

∴(n∈N⁺).

故当λ≠-18时，数列｛b_n｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列 。，

当λ=－18时，，

（3）由（2）知，当λ=-18,b_n=0,S_n=0,不满足题目要求.            

∴λ≠-18，

要使a<S_n<b对任意正整数n成立，

即a<-(λ+18)·［1－（－）ⁿ］〈b(n∈N⁺) 

  

当n为正奇数时，1<f(n)

∴f(n)的最大值为f(1)=, f(n)的最小值为f(2)= ,  

于是，由①式得a<-(λ+18)<          

当a<b3a时，由－b-18=-3a-18，不存在实数满足题目要求；          

当b>3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a<S_n<b,且λ的取值范围是（－b-18,-3a-18）。