Question

已知数列{a_n}满足：a_n=log_（n+1）（n+2），n∈N⁺，我们把使a₁•a₂•a₃•…•a_k为整数的数k（k∈N⁺）叫做数列{a_n}的理想数．给出下列关于数列{a_n}的几个结论：
①数列{a_n}的最小理想数是2；
②数列{a_n}的理想数k的形式可以表示为k=4ⁿ-2；
③在区间[1，2011]内{a_n}的所有理想数之和为2026；
④对任意的n∈N⁺，有a_n+1＞a_n．
其中正确的序号为

 

．

Answer 1

分析：由 an=logn+1(n+2)=

log2(n+2)

log2(n+1)

，知a₁•a₂•…•a_k=log₂（n+2）．log₂（n+2）为整数的最小的n=2，数列{a_n}的最小理想数是2．{a_n}的理想数k的形式可以表示为k=2^n-1，先利用换底公式与叠乘法把a₁•a₂•a₃…a_k化为log₂（k+2）；然后根据a₁•a₂•a₃…a_k为整数，可得k=2ⁿ-2；最后由等比数列前n项和公式解决问题．对任意n∈N^*，有a_n+1＜a_n．故正确结论的序号为①③．

解答：解：an=logn+1(n+2)=

log2(n+2)

log2(n+1)

，
∴a₁•a₂•…•a_k=log₂（n+2）．
∵k∈N^*，∴log₂（n+2）为整数的最小的n=2，数列{a_n}的最小理想数是2．故①正确；
{a_n}的理想数k的形式可以表示为k=2^n-1，故②不成立；
∴k∈[1，2011]内所有的幸运数的和
M=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）
=

4(1-29)

1-2

-2×9=2026  （2¹¹-2＞2011）
故答案为2026．
对任意n∈N^*，有a_n+1＜a_n．故③成立；

lim

n→+∞

an=1，故④不成立．
故正确答案为①③．
故答案为：①③

点评：本题考查数列的性质和应用，本题在理解新定义的基础上，考查换底公式、叠乘法及等比数列前n项和公式，其综合性、技巧性是比较强的．