Question

已知函数f（x）=-xln|x|+ax，
（1）若a=1，求f（x）的极值；
（2）当x∈[1，+∞），求f（x）的单调区间；
（3）若函数g（x）=f（x）-

1

2x

有零点，求a的范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数零点的判定定理,利用导数研究函数的单调性

专题：

分析：（1）当a=1时，f（x）=-xln|x|+x=

-xlnx+x，x＞0 -xln(-x)+x，x＜0

，由此利用导数性质能求出f（x）在x=1时取最小值．
（2）当x≥1时f（x）=-xlnx+ax，f′（x）=-lnx+a-1，由此利用分类讨论思想能求出f（x）的单调区间．
（3）g(x)=-xln|x|+ax-

1

2x

=0有解，即a=ln|x|+

1

2x2

有解，由此利用导数性质能求出a的范围．

解答： 解：（1）当a=1时，
f（x）=-xln|x|+x=

-xlnx+x，x＞0 -xln(-x)+x，x＜0

，
x＞0时，f′（x）=-lnx，
∴f（x）在（-∞，-1）上是减函数，在（-1，0）上是增函数，
∴f（x）在x=1时取最小值-1．…（4分）
（2）当x≥1时f（x）=-xlnx+ax，
f′（x）=-lnx+a-1，
当a≤1时，f′（x）＜0，
∴[1，+∞）为减区间，
当a＞1时（1，e^a-1）为增区间，（e^a-1，+∞）为减区间…．（7分）
（3）g(x)=-xln|x|+ax-

1

2x

=0有解，
即a=ln|x|+

1

2x2

有解，
设h(x)=ln|x|+

1

2x2

，h（x）为偶函数，
只需讨论（0，+∞）上有解，
x∈(0，+∞) ，h(x)=lnx+

1

2x2

，
h′(x)=

1

x

-

1

x3

=

1

x

(1-

1

x2

)
x=1为极小值点，
∴h（x）的最小值为

1

2

，∴a≥

1

2

…..（14分）

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．