Question

已知向量

α

=（

3

sinωx，cosωx），

β

=（cosωx，cosωx），设函数f（x）=

α

•

β

，已知f（x）的周期为π．
（1）求正数ω之值；
（2）若x表示△ABC的内角B的度数，且cosB≥

1

2

，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：余弦函数的图象,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由于函数f（x）=

α

•

β

=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，再根据已知f（x）的周期为π=

2π

2ω

，可得ω的值．
（2）由（1）可得f（x）=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，故由cosB≥

1

2

，可得 0＜B≤

π

3

，即 0＜x≤

π

3

，再利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域．

解答： 解：（1）由于函数f（x）=

α

•

β

=

3

sinωx•cosωx+cos²ωx=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，
再根据已知f（x）的周期为π=

2π

2ω

，可得ω=1．
（2）由（1）可得f（x）=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，故由cosB≥

1

2

，可得 0＜B≤

π

3

，即 0＜x≤

π

3

，
∴

π

6

＜2x+

π

6

≤

5π

6

，∴f（x）∈[1，

3

2

]．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．