Question

【题目】已知是各项均为正数的等比数列，且满足，，等差数列满足，.

（Ⅰ）分别求数列，的通项公式；

（Ⅱ）记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）在各项均为正数的等比数列中，将已知两个关系式中各项都由等比数列通项公式转化为首项与公比，进而求得首项与公比，并写出该数列通项公式；在等差数列中，由等差数列性质求得公差，进而求得首项，即可写出该数列通项公式；

（Ⅱ）由（Ⅰ）求得数列的前项和，将其带入已知不等式，进而参变分离转化不等式，再令，分析其数列的增减性，求得最值，即可求得答案.

（Ⅰ）设正数等比数列的公比为，由题意得

，∴

又由题意得，∴，且

∴；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得数列的前项和，

∴对恒成立，即对恒成立，

令，，

当时，，数列为递增数列；当时，，数列为递减数列，

∴，故.