Question

【题目】已知椭圆，，，，四点中恰有三点在椭圆上，抛物线焦点到准线的距离为.

（1）求椭圆、抛物线的方程；

（2）过椭圆右顶点Q的直线与抛物线交于点A、B，射线、分别交椭圆于点、.

（i）证明：为定值；

（ii）记、的面积分别为、，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；；（2）（i）证明见解析；（ii）.

【解析】

（1）先判断在椭圆上，代入求得，得到椭圆的方程，再根据焦点到准线的距离为，求出，得到抛物线的方程；

（2）（i）设，与的方程联立化简，用坐标表示，利用根与系数的关系，即可证得为定值；

（ii）设直线，与联立，可求出的纵坐标，同理，可求出的纵坐标，再将表示出来并化简求最值.

（1）关于轴对称，关于轴对称，在上，

若在上，则，不在上，在上，

，，又，,

即椭圆，抛物线.

（2）（i）设，代入中，得

，，

即为定值.

（ii）设直线，将直线代入中得：

，

同理直线，得，

则

当且仅当，即时，的最小值为.