Question

19．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB=2，E为PC中点．求二面角E-BD-P的余弦值．

Answer 1

分析 以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由此能求出二面角E-BD-P的余弦值．

解答 解：以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，1，1），
$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，1，1）．
设平面BDE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=y+z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得y=-1，x=1．∴平面BDE的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1）．
又∵C（0，2，0），A（2，0，0），$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），且AC⊥平面PDB，
∴平面PDB的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，-1，0）．
设二面角E-BD-P的平面角为α，
则cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{3}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴二面角E-BD-P的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．