Question

16．设函数f（x）=|x-$\frac{4}{m}$|+|x+m|，（m＞0）
（I）证明：f（x）≥4
（II）若f（1）＞5，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据绝对值的性质以及基本不等式的性质求出f（x）的最小值，证明即可；（Ⅱ）通过讨论m的范围，得到关于m的不等式，取并集即可．

解答 （I）证明：$f（x）=|{x-\frac{4}{m}}|+|{x+m}|≥|{（x-\frac{4}{m}）-（x+m）}|=|{\frac{4}{m}+m}|$，
因为m＞0，所以$f（x）=\frac{4}{m}+m≥2\sqrt{\frac{4}{m}×m}=4$，
当且仅当m=2时，等号成立…（5分）
（II）解：由m＞0及f（1）＞5得，$|{1-\frac{4}{m}}|+1+m＞5$（*），
①当0＜m≤4时，不等式（*）可化为：
$\frac{4}{m}+m＞5，即{m^2}-5m+4＞0$，
解得，m＞4，或m＜1所以，0＜m＜1，
②当m＞4时，不等式（*）可化为：
$2-\frac{4}{m}+m＞5，即{m^2}-3m-4＞0$，
解得，m＞4，或m＜-1所以，m＞4，
综上，m的取值范围是（0，1）∪（4，+∞）…（10分）

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．