Question

若有两个焦点F₁，F₂的圆锥曲线上存在点P，使|PF₁|=3|PF₂|成立，则称该圆锥曲线上存在“α”点，现给出四个圆锥曲线：①

x2

4

-

y2

12

=1  ②x²-

y2

15

=1  ③

x2

9

+

y2

7

=1  ④

x2

12

+

y2

4

=1，其中存在“α”点的圆锥曲线有（　　）

• A、①③
• B、①④
• C、②③
• D、②④

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,椭圆的简单性质

专题：计算题,阅读型,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：分别求出曲线①②③④的焦点坐标，设出P（x，y），运用两点的距离公式化简整理得到P的轨迹方程，联立曲线方程，消去y，解关于x的方程，注意曲线的范围，判断即可得到．

解答： 解：对于①，

x2

4

-

y2

12

=1的焦点F₁（-4，0），F₂（4，0），设P（x，y），
则由|PF₁|=3|PF₂|可得（x+4）²+y²=9[（x-4）²+y²]，化简得x²+y²-10x+16=0，
代入双曲线的方程，消去y，得3x²-（10x-16-x²）=12，即为2x²-5x+2=0，解得x=2或

1

2

，
由双曲线的范围可得x≥2，故存在P，则①正确；
对于②，x²-

y2

15

=1的焦点F₁（-4，0），F₂（4，0），则P（x，y）的轨迹方程为x²+y²-10x+16=0，
代入双曲线的方程，消去y，得15x²-（10x-16-x²）=15，即为16x²-10x+1=0，解得x=

1

8

或

1

2

，
由双曲线的范围为x≥1，故不存在点P，则②不正确；
对于③，

x2

9

+

y2

7

=1的焦点F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0），设P（x，y），
则由|PF₁|=3|PF₂|可得（x+

2

）²+y²=9[（x-

2

）²+y²]，化简得x²+y²-

5 2

2

x+2=0，
代入椭圆方程，消去y得2x²-

45 2

2

x+81=0，可得判别式大于0，两根之积为

81

2

＞9，
由椭圆的范围可得|x|≤3，故不存在P，则③不正确；
对于④，

x2

12

+

y2

4

=1的焦点F₁（-2

2

，0），F₂（2

2

，0），设P（x，y），
则由|PF₁|=3|PF₂|可得（x+2

2

）²+y²=9[（x-2

2

）²+y²]，化简得x²+y²-5

2

x+8=0，
代入椭圆方程，消去y得2x²-15

2

x+36=0，可得x=6

2

或

3 2

2

，
由椭圆的范围可得|x|≤2

3

，即有x=

3 2

2

成立，故存在P，则④正确．
故选B．

点评：本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查轨迹方程的求法，注意联立方程求解时，别忽视圆锥曲线的范围，具有一定的运算量，属于中档题和易错题．