Question

如图1，在四棱锥中，底面，面为正方形，为侧棱上一点，为上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．

（Ⅰ）求四面体的体积；
（Ⅱ）证明：∥平面；
（Ⅲ）证明：平面平面．

Answer 1

（Ｉ）；（ＩＩ）详见解析；（Ⅲ）详见解析．

试题分析：（I）根据三视图等条件，求出棱锥底面积和高，可求体积；（II）在面PFC内找一直线平行AE即可证明∥平面；（III）证平面平面只需证明平面过平面的一条垂线即可.
试题解析：（Ⅰ）解：由左视图可得 为的中点，
所以 △的面积为 ．      1分
因为平面，                   2分
所以四面体的体积为
                      3分
．                     4分
（Ⅱ）证明：取中点，连结，．                                  5分

由正（主）视图可得 为的中点，所以∥，．      6分
又因为∥，， 所以∥，．
所以四边形为平行四边形，所以∥．                       8分
因为 平面，平面，
所以 直线∥平面．                                            9分
（Ⅲ）证明：因为 平面，所以 ．
因为面为正方形，所以 ．
所以 平面．                                               11分
因为 平面，所以 ．      
因为 ，为中点，所以 ．
所以 平面．                                              12分
因为 ∥，所以平面．                               13分
因为 平面， 所以 平面平面.                   14分