Question

四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，ABCE为菱形，∠BAD＝120°，PA＝AB，G、F分别是线段CE、PB的中点．

(Ⅰ) 求证：FG∥平面PDC；
(Ⅱ) 求二面角的正切值．

Answer 1

(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)二面角的正切值为．

试题分析：（Ⅰ）连结BD，因为E是AD的中点是CＥ的中点，所以ＢＤ过点，这样只需证即可；（Ⅱ）求二面角的正切值，需找出平面角，注意到PA⊥平面ABCD，F是线段PB的中点，取的中点，则⊥平面ABCD，过作，垂足为，则即为二面角的平面角．
试题解析：（Ⅰ）证明：连结，因为E是AD的中点，是CＥ的中点，且ABCE为菱形，，，所以过点，且是的中点，在中，又因为是的中点，，又平面，平面 ；
（Ⅱ）取的中点，因为是的中点，，又因为平面，平面，过作，垂足为，连结，则即为二面角的平面角，
不妨令，则，有平面几何知识可知，，所以二面角的正切值为 ．