Question

如图1，四棱锥中，底面，面是直角梯形，为侧棱上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．   
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）证明：∥平面；
（Ⅲ）线段上是否存在点，使与所成角的余弦值为？若存在，找到所有符合要求的点，并求的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

(I)详见解析；（II）详见解析；（III）点位于点处，此时；或中点处，此时.

试题分析：(I)建立空间直角坐标系，写出点的坐标，线和面内两相交直线垂直，则线垂直面；(II)线与面内一直线平行，则线面平行；(III)利用数量积公式可得两直线夹角余弦.
试题解析：【方法一】
（Ⅰ）证明：由俯视图可得，，

所以．          1分
又因为 平面，
所以 ，         3分
所以 平面．                                         4分
（Ⅱ）证明：取上一点，使，连结，．       5分
由左视图知 ，所以 ∥，．      6分
在△中，易得，所以 ．又 ， 所以， ．
又因为 ∥，，所以 ∥，．
所以四边形为平行四边形，所以 ∥．               8分
因为 平面，平面，
所以 直线∥平面．                                     9分
（Ⅲ）解：线段上存在点，使与所成角的余弦值为．证明如下：10分
因为 平面，，建立如图所示的空间直角坐标系．
所以 ．
设 ，其中．                                    11分
所以，．
要使与所成角的余弦值为，则有 ，   12分
所以 ，解得 或，均适合．  13分
故点位于点处，此时；或中点处，此时，有与所成角的余弦值为．                                                        14分
【方法二】

（Ⅰ）证明：因为平面，，建立如图所示
的空间直角坐标系．
在△中，易得，所以 ，
因为 ， 所以， ．
由俯视图和左视图可得：
．
所以 ，．
因为 ，所以．         2分
又因为 平面，所以 ，                     3分
所以 平面．                                         4分
（Ⅱ）证明：设平面的法向量为，则有
因为 ，，
所以   取，得．                6分           
因为 ，
所以 ．                        8分
因为 平面，
所以 直线∥平面．                                     9分
（Ⅲ）解：线段上存在点，使与所成角的余弦值为．证明如下：10分
设 ，其中．                                    11分
所以 ，．
要使与所成角的余弦值为，则有 ，  12分
所以 ，解得或，均适合．   13分
故点位于点处，此时；或中点处，此时，有与所成角的余弦值为．                                                        14分