Question

函数y=cos2x-x²，x∈[-

π

2

，

π

2

]的最大值是

 

，最小值是

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值,函数奇偶性的性质

专题：计算题

分析：解决本题要先判断函数y=cos2x+x²的奇偶性，把函数在x∈[-

π

2

，

π

2

]的最值问题转化为函数在[0，

π

2

]上的最值问题，然后通过研究函数的单调性解决．

解答： 解：因为函数y=cos2x-x²的定义域为x∈[-

π

2

，

π

2

]，定义域关于原点对称，
  又∵f（-x）=cos（-2x）-（-x）²=cos2x-x²=f（x），
∴函数y=cos2x-x²为偶函数，
∴把求函数y=cos2x-x²在定义域[-

π

2

，

π

2

]上的最值转化成求函数y=cos2x-x²在[0，

π

2

]上的最值，
∵y′=2sin2x-2x＞0在[0，

π

2

]上恒成立，则函数y=cos2x+x²在[0，

π

2

]上是增函数，
∴函数y=cos2x-x²在[0，

π

2

]上的最大值为1，最小值为-1-

π2

4

，
故答案：1，-1-

π2

4

点评：本题是一个综合性的题目，考查了函数的奇偶性、单调性和最值，考查了转化与化归的思想．