Question

已知函数f（x）=

3

sinωxcosωx+cosωxcosωx，若f（x）的最小正周期为

π

2

，则f（x-

π

12

）=1在区间[0，5π]的解的个数为

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：应用二倍角正弦、余弦公式以及两角和的正弦公式化简f（x），根据f（x）的最小正周期，求出ω，再解三角方程，找出在区间[0，5π]的解的个数即可．

解答： 解：f（x）=

3

sinωxcosωx+cosωxcosωx
=

3

2

sin2ωx+

1+cos2ωx

2

=

1

2

+（sin2ωxcos

π

6

+cos2ωxsin

π

6

）
=

1

2

+sin（2ωx+

π

6

），
∵f（x）的最小正周期为

π

2

，
∴

2π

2|ω|

=

π

2

即ω=±2，
又f（x-

π

12

）=1，
当ω=2时，

1

2

+sin[4（x-

π

12

）+

π

6

]=1，
4x=2kπ+

π

3

或2kπ+π，k∈Z，
则k=0，1，2，3，…，9共20个满足解在区间[0，5π]上，
当ω=-2时，

1

2

+sin[-4（x-

π

12

）+

π

6

]=1，
4x=2kπ+

π

3

或2kπ-

π

3

，k∈Z，
则k=0，1，2，…，9或1，2，3，…，10共20个满足解在区间[0，5π]上．
故答案为：20．

点评：本题主要考查三角函数的图象与性质，考查函数的周期性和简单三角方程的解法，同时考查三角恒等变换及应用，是一道基础题．