Question

已知点P（a+1，b+1），Q（1，0），线段PQ与直线2x-3y+1=0有交点，若存在M∈R⁺，使得-b-a²≤M恒成立，则M的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：转化思想,函数的性质及应用

分析：由题意知，P，Q两点在直线的两侧或其中一点在直线l上，故有（2（a+1）-3（b+1）+1）•（2+1）≤0．求出ab关系，然后利用函数恒成立，求出-b-a²的最大值即可．

解答： 解：∵点P（a+1，b+1），Q（1，0），线段PQ与直线2x-3y+1=0有交点，
∴P，Q两点在直线的两侧或其中一点在直线l上，
∴（2（a+1）-3（b+1）+1）•（2+1）≤0，解得：2a-3b≤0，
∴b≥

2

3

a，
∴-b-a²≤-

2

3

a-a2=-（a+

1

3

）²+

1

9

≤

1

9

．
存在M∈R⁺，使得-b-a²≤M恒成立，则M的最小值：

1

9

．
故答案为：

1

9

点评：本题考查两条直线的交点问题，考查线性规划的应用，以及函数恒成立指数，容易找到简单正确的解题方法，考查计算能力以及转化思想的应用．