Question

如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且 

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的正弦值；
（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）只需证PA⊥BC，AC⊥BC即可；（2）；（3）故存在点E使得二面角是直二面角，此时。

试题分析：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又，∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.             4分
（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，
∴，
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP为等腰直角三角形，∴，
∴在Rt△ABC中，，∴.
∴在Rt△ADE中，，
∴与平面所成的角的大小.                9分
（Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP为二面角的平面角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴
∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，
故存在点E使得二面角是直二面角.
此时        14分
点评：本题主要考查了直线与平面所成的角以及二面角，属立体几何中的常考题型，较难．充分考查了学生的逻辑推理能力，空间想象力，以及识图能力。