Question

(本小题满分12分)如图，四棱锥P--ABCD中，PB底面ABCD．底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB=AD=PB=3，BC=6．点E在棱PA上，且PE=2EA.

(1)求异面直线PA与CD所成的角；
(2)求证：PC∥平面EBD；
(3)求二面角A—BE--D的余弦值．

Answer 1

(1)∠PAF=60°；（2）连结AC交BD于G，连结EG，由成比例线段得PC∥EG，
又EG平面EBD，PC?平面EBD.∴PC∥平面EBD；
（3）二面角A-BE-D的余弦值为。

试题分析：(1)∵PB⊥底面ABCD，在直角梯形ABCD中AB=AD=3，∴BC=6 取BC的中点F，连结AF，则AF∥CD.
∴异面直线PA和CD所成的角就是PA和AF所成的角∠PAF（或其补角），在△PAF中，AF=PA=PF=3，
∴∠PAF=60°         ………………3分
（2）连结AC交BD于G，连结EG，∵又∴∴PC∥EG
又EG平面EBD，PC?平面EBD.∴PC∥平面EBD     ……………7分
（3）∵PB⊥平面ABCD，∴AD⊥PB.又∵AD⊥AB,∴AD⊥平面EAB.
作AH⊥BE,垂足为H,连结DH,则DH⊥BE,
∴∠AHD是二面角A-BE-D的平面角.在△ABE中,BE= AH=
∴tan∠AHD=, 所以，二面角A-BE-D的余弦值为      ……………12分
点评：典型题，立体几何中平行、垂直关系的证明及角的计算问题是高考中的必考题，注意遵循“一作、二证、三算”的解题步骤。