已知点A为椭圆E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的上顶点.P($\frac{8}{3}$.$\frac{b}{3}$)是椭圆E上的一点.以AP为直径的圆经过椭圆E的右焦点F.直线l与椭圆相交于B.C两点.且满足kOB•kOC=-$\frac{1}{2}$.O为坐标原点(1)求椭圆E的方程,(2)求证:� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．已知点A为椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上顶点，P（$\frac{8}{3}$，$\frac{b}{3}$）是椭圆E上的一点，以AP为直径的圆经过椭圆E的右焦点F，直线l与椭圆相交于B、C两点，且满足k_OB•k_OC=-$\frac{1}{2}$，O为坐标原点
（1）求椭圆E的方程；
（2）求证：△OBC的面积为定值．

分析（1）由于以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F，可得$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{AF}$=c（c-$\frac{8}{3}$）+$\frac{1}{3}$b²=0．把点P（$\frac{8}{3}$，$\frac{b}{3}$）代入椭圆的方程为$\frac{64}{9{a}^{2}}$+$\frac{1}{9}$=1，与b²+c²=a²联立解出即可得出a，b，进而得到椭圆方程；
（2）讨论直线l的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由斜率的公式，化简可得t²=2+4k²，再由点到直线的距离公式，即可得到△OBC的面积为定值．

解答解：（1）A（0，b），
∵以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F，∴PF⊥AF，
∴$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{AF}$=（c-$\frac{8}{3}$，-$\frac{b}{3}$）•（c，-b）=c（c-$\frac{8}{3}$）+$\frac{1}{3}$b²=0．
把点P（$\frac{8}{3}$，$\frac{b}{3}$）代入椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的方程为：$\frac{64}{9{a}^{2}}$+$\frac{1}{9}$=1，
解得a²=8，∴b²+c²=8，
可得b²=8-c²，代入c（c-$\frac{8}{3}$）+$\frac{1}{3}$b²=0，解得c=2，b=2．
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）证明：当直线l的斜率不存在，令x=m，代入椭圆方程，
可得y=±2$\sqrt{1-\frac{{m}^{2}}{8}}$，由k_OB•k_OC=-$\frac{1}{2}$，可得$\frac{-4（1-\frac{{m}^{2}}{8}）}{{m}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
解得m=±2，交点为（2，±$\sqrt{2}$）或（-2，±$\sqrt{2}$），
即有△OBC的面积为$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$；
当斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程x²+2y²=8，
可得（1+2k²）x²+4ktx+2t²-8=0，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{4kt}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{t}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，
|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{16{k}^{2}{t}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}-\frac{8{t}^{2}-32}{1+2{k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{8+16{k}^{2}-2{t}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，
由k_OB•k_OC=-$\frac{1}{2}$，可得$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
即为x₁x₂+2y₁y₂=0，由y₁=kx₁+t，y₂=kx₂+t，
可得（1+2k²）x₁x₂+2kt（x₁+x₂）+2t²=0，
即有（1+2k²）•$\frac{2{t}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$+2kt（-$\frac{4kt}{1+2{k}^{2}}$）+2t²=0，
化简可得，t²=2+4k²，
即有|x₁-x₂|=$\frac{4\sqrt{2{t}^{2}}}{{t}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{|t|}$，
原点到直线y=kx+t的距离为d=$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
可得△OBC的面积为S=$\frac{1}{2}$d|BC|
=$\frac{1}{2}$•$\frac{|t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{2}}{|t|}$=2$\sqrt{2}$．
总是可得△OBC的面积为定值2$\sqrt{2}$．

点评本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、点到直线的距离公式，三角形的面积公式的运用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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