Question

17．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=-1，a_n+1=S_n•S_n+1，则S_n=（　　）

• A． n
• B． $\frac{1}{n}$
• C． -n
• D． -$\frac{1}{n}$

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得S_n+1-S_n=S_n•S_n+1，即$\frac{1}{{S}_{n+1}}-\frac{1}{{S}_{n}}=-1$，由此可知，数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以-1为首项，以-1为公差的等差数列，求出等差数列的通项公式得答案．

解答 解：由a_n+1=S_n•S_n+1，得S_n+1-S_n=S_n•S_n+1，
∴$\frac{1}{{S}_{n+1}}-\frac{1}{{S}_{n}}=-1$，又$\frac{1}{{S}_{1}}=\frac{1}{{a}_{1}}=-1$，
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以-1为首项，以-1为公差的等差数列，
则$\frac{1}{{S}_{n}}=-1+（n-1）×（-1）=-n$，
∴${S}_{n}=-\frac{1}{n}$．
故选：D．

点评 本题考查数列递推式，考查等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题．