Question

14．设椭圆方程为x²+$\frac{y^2}{4}$=1，过点M（0，1）的直线L交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$，当L绕点M旋转时，求
（1）当L的斜率为1时，求三角形ABC的面积；
（2）动点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）l：y=x+1，代入x²+$\frac{y^2}{4}$=1，求出A，B的坐标，即可求出三角形ABO的面积．
（2）设出直线l的方程，A，B的坐标，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理表示出x₁+x₂，利用直线方程表示出y₁+y₂，然后利用$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$求得$\overrightarrow{OP}$的坐标，设出P的坐标，然后联立方程消去参数k求得x和y的关系式，P点轨迹可得．

解答 解：（1）l：y=x+1，代入x²+$\frac{y^2}{4}$=1，
整理得5x²+2x-3=0，∴x=-1或$\frac{3}{5}$
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则|x₁-x₂|=$\frac{8}{5}$，
∴三角形ABO的面积S=$\frac{1}{2}×1×\frac{8}{5}$=$\frac{4}{5}$；
（2）设P（x，y）是所求轨迹上的任一点，
①当斜率存在时，直线l的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
椭圆：4x²+y²-4=0
由直线l：y=kx+1代入椭圆方程得到：（4+k²）x²+2kx-3=0，
x₁+x₂=-$\frac{2k}{4+{k}^{2}}$，y₁+y₂=$\frac{8}{4+{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$得：（x，y）=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂，y₁+y₂），
即：x=-$\frac{k}{4+{k}^{2}}$，y=$\frac{4}{4+{k}^{2}}$
消去k得：4x²+y²-y=0
当斜率不存在时，AB的中点为坐标原点，也适合方程
所以动点P的轨迹方程为：4x²+y²-y=0．

点评 本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力．