Question

5．某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2的列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
附表：

P（K2≥k）	0.100	0.010	0.001
k	2.706	6.635	10.828

${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，（其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 根据分层抽样原理，求出样本中25周岁以上与25周岁以下组工人数，计算对应的生产能手数，列出2×2列联表，计算K²值，对照数表得出结论．

解答 解：根据分层抽样原理，得；
样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名，
由频率分布直方图知，在抽取的100名工人中，
“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25=15（人），
“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375=15（人），
据此可得2×2列联表如下：

	生产能手	非生产能手	合计
25周岁以上组	15	45	60
25周岁以下组	15	25	40
合计	30	70	100

所以得：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{100{×（15×25-15×45）}^{2}}{60×40×30×70}$=$\frac{25}{14}$≈1.79；
因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．

点评 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样方法的应用问题，考查了2×2列联表的应用问题，是基础题目．