Question

18．求证：函数y=log_0.5（3x-2）在定义域上是单调减函数．

Answer 1

分析 先求出该函数的定义域：（$\frac{2}{3}，+∞$），根据减函数的定义，可设任意的${x}_{1}＞{x}_{2}＞\frac{2}{3}$，作差并进行对数的运算，便可得到${y}_{1}-{y}_{2}=lo{g}_{0.5}\frac{3{x}_{1}-2}{3{x}_{2}-2}$，这时可以说明$\frac{3{x}_{1}-2}{3{x}_{2}-2}＞1$，从而便可得出y₁＜y₂，这样便证出了原函数在定义域上为减函数．

解答 证明：该函数定义域为（$\frac{2}{3}$，+∞）；
设${x}_{1}＞{x}_{2}＞\frac{2}{3}$，则：
y₁-y₂=log_0.5（3x₁-2）-log_0.5（3x₂-2）=$lo{g}_{0.5}\frac{3{x}_{1}-2}{3{x}_{2}-2}$；
∵${x}_{1}＞{x}_{2}＞\frac{2}{3}$；
∴3x₁-2＞0，3x₂-2＞0，3x₁-2＞3x₂-2；
∴$\frac{3{x}_{1}-2}{3{x}_{2}-2}＞1$；
∴$lo{g}_{0.5}\frac{3{x}_{1}-2}{3{x}_{2}-2}＜0$；
∴y₁＜y₂；
∴该函数在定义域上是单调减函数．

点评 考查对数的真数大于0，减函数的定义，以及根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，对数的运算，以及作差比较y₁与y₂的方法，对数函数的单调性．