Question

13．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x≥0}\\{-{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$，当t∈（-2，2）时，f（t²-2t）+（2t²-k）＜0恒成立，则k的取值范围是k＜-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由已知中f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x≥0}\\{-{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$，可得f（x）在R上单调递减，且函数为奇函数，结合函数的单调性和奇偶性，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0当t∈（-2，2）时恒成立，等价于t²-2t＞k-2t²当t∈（-2，2）时恒成立，进而根据二次函数的图象和性质得到答案．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x≥0}\\{-{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$，
∴f（x）为奇函数，f（x）在R上单调递减，
由f（x）为奇函数得，f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0可化为f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²）．
由f（x）单调递减得，t²-2t＞k-2t²，
∴不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0当t∈（-2，2）时恒成立，等价于t²-2t＞k-2t²当t∈（-2，2）时恒成立，
即3t²-2t-k＞0，当t∈（-2，2）时恒成立，
∴有k＜3t²-2t=3（t-$\frac{1}{3}$）²-$\frac{1}{3}$，
∵t∈（-2，2），∴3（t-$\frac{1}{3}$）²-$\frac{1}{3}$∈[-$\frac{1}{3}$，16）
∴k＜-$\frac{1}{3}$．
故答案为：k＜-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查函数奇偶性、单调性的判断及应用，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力．