Question

6．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（$\frac{4}{3}x+\frac{π}{9}$）+m在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{11π}{24}$]上的最小值为3，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而求得f（x）的解析式．
（2）先求出g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得g（x）取得最小值为-$\sqrt{3}$+m=3，由此求得m的值．

解答 解：（1）根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象，可得A=2，$\frac{1}{4}$•T=$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$，求得ω=$\frac{3}{2}$．
再根据五点法作图可得$\frac{3}{2}$×（-$\frac{π}{6}$）+φ=0，求得φ=$\frac{π}{4}$，∴f（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{4}$）．
（2）对于g（x）=f（$\frac{4}{3}x+\frac{π}{9}$）+m=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m，在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{11π}{24}$]上，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{13}{12}$π]，
故当2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$时，g（x）取得最小值为-$\sqrt{3}$+m=3，求得m=3+$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；还考查了正弦函数的定义域和值域，属于中档题．