Question

20．如图，已知空间四边形ABCD的各条边的长度相等，E为BC中点，那么（　　）

• A． $\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}$＜$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CD}$
• B． $\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CD}$
• C． $\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}$＞$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CD}$
• D． $\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}$与$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CD}$大小不确定

Answer 1

分析 空间四边形ABCD的各条边的长度相等，不妨取为1，E为BC中点，可得：AE⊥BC，AB⊥CD，$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$．代入计算即可得出．

解答 解：∵空间四边形ABCD的各条边的长度相等，不妨取为1，E为BC中点，
∴AE⊥BC，AB⊥CD，$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$．
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}$=0，
$\overrightarrow{AE}$$•\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$$•\overrightarrow{CD}$
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CD}$
=$\frac{1}{2}×1×1×cos12{0}^{°}$=-$\frac{1}{4}$．
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}$$＞\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CD}$．
故选：C．

点评 本题考查了正四面体的性质、数量积的运算性质、向量的平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．