Question

5．△ABC的内角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，且asinB-$\sqrt{3}$bcosA=0
（1）求角A；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BC}$²=4，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知可得sinAsinB-$\sqrt{3}$sinBcosA=0，又sinB≠0，从而可求tanA，由于0＜A＜π，即可解得A的值；
（2）把已知向量等式变形，可得${a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}-\frac{bc}{2}-4$，再结合余弦定理得a²=b²+c²-bc，联立求得bc=8，进一步代入a²=b²+c²-bc，利用放缩法求得a的最小值．

解答 解：（1）∵asinB-$\sqrt{3}$bcosA=0，由正弦定理，得sinAsinB-$\sqrt{3}$sinBcosA=0，
又sinB≠0，∴tanA=$\sqrt{3}$，
∵0＜A＜π，A=$\frac{π}{3}$；
（2）由$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BC}$²=4，得$|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+\overrightarrow{AC}•（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}）-|\overrightarrow{BC}{|}^{2}=4$，
∴${c}^{2}+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BA}+{b}^{2}-{a}^{2}=4$，
∴c²+bc•cos120°+b²-a²=4，
则${a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}-\frac{bc}{2}-4$，①
又∵2bc•cos2A=b²+c²-a²，
∴a²=b²+c²-bc，②
由①②得bc=8．
∴a²=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，
∴$a≥2\sqrt{2}$．
故a的最小值为$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数中的恒等变换应用，训练了利用放缩法求最值，是中档题．