Question

10．A、B是抛物线y²=2px（p＞0）上的两点，满足$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0（O是原点），求证：
（1）A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值．
（2）直线AB过定点．

Answer 1

分析 （1）OA⊥OB时，设直线AB：x=my+n，代入抛物线方程，可得y²-2pmy-2pn=0，利用OA⊥OB，即可证明A、B两点的横坐标之积为定值；
（2）由（1）知，直线AB：x=my+2p过定点（2p，0）．

解答 证明：（1）OA⊥OB时，设直线AB：x=my+n．
代入抛物线方程，可得y²-2pmy-2pn=0，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4{p}^{2}}$+y₁y₂=0，
∴y₁y₂=-4p²=-2pn，
∴n=2p，
∴x₁x₂=4p²；
（2）由（1）知，直线AB：x=my+2p过定点（2p，0）．

点评 本题考查抛物线方程，考查学生的计算能力，考查直线与抛物线的位置关系，难度中档．